一、三维抛物型方程两层显式差分格式的研究（论文文献综述）
王圣锋[1]（2021）在《一种求解含间断解的典型偏微分方程混合高阶无振荡紧差分算法研究》文中研究指明本文首先研究了求解多维粘性Burgers方程的分裂-紧差分组合格式,其次在该算法的知识基础上进一步探索,重点研究了求解退化抛物型方程的混合高阶无振荡紧差分算法,最后将混合无振荡紧差分算法进一步拓展,求解了退化的对流扩散方程.对于多维Burgers方程,尤其是雷诺数较大的情况下,该方程易出现对流占优问题.一般来说,为了使Burgers方程得到精确的解,需要克服对流占优问题.幸运的是,本文利用紧差分格式结合保分裂精度的线性化格式较好地求解了在大雷诺数条件下的各种情形.对于退化抛物型方程,其具有扰动有限传播的特性,同时由于其物理解包含间断解以及强激波结构,并且还具有二阶空间导数项,因此目前求解该类退化抛物型方程的研究还比较少.本质无振荡（Essential Non-Oscillation,以下简称ENO）格式和加权本质无振荡（Weighted Essential Non-Oscillation,以下简称WENO）格式,可以很好地模拟出间断处的解,但该格式存在耗散过大,分辨率有待进一步提高的特性.而紧差分方法算法恰好拥有高精度,接近谱方法的分辨率特点.因此本文先基于高阶紧插值格式和无振荡的奇-偶阶WENO插值格式,通过建立的加权因子进行耦合,得到新的保精度高阶无振荡插值格式,再结合高分辨率的混合紧差分方法,最终得到理想精度的混合高阶无振荡紧差分格式,进而对退化抛物型方程进行求解.该混合高阶无振荡紧差分格式具有高阶、高分辨率和WENO的无振荡性质,相比传统的WENO格式拥有更大的优势.除此之外,对于包含非负物理量问题,本文添加了保正限制器.最后基于数值实验的结果,证明了混合高阶无振荡紧差分算法的有效性和适用性,且数值收敛阶与理论分析的一致,进一步说明这种混合高阶无振荡紧差分格式是保精度的.全文共分五章节,其主要内容如下:第一章主要对Burgers方程,退化的抛物型方程的研究意义及国内外研究现状做简单的概述,并且介绍了紧差分方法、ENO和WENO格式、算子分裂法的基本知识.第二章主要介绍多维Burgers方程的紧差分格式与算子分裂法.首先将一维的Burgers方程进行线性化处理,再应用紧差分格式进行求解,对于二、三维的问题,利用算子分裂技术将其分裂为一维子方程组进而求解,从理论上验证了该处理方法分裂无精度损失.同时与传统的紧差分直接求解多维Burgers方程得到的结果进行对比,数值结果表明将分裂-紧差分组合方法应用于经线性化处理后的多维Burgers方程数值解更加精确.并且通过数值算例也验明本章算法求解多维Burgers方程数值解的有效性.第三章主要通过耦合高阶紧插值格式和奇-偶阶WENO插值格式,再结合混合紧差分方法,设计构造出一种混合高阶无振荡紧差分格式.进而将该算法应用于求解一维的非线性退化抛物型方程,同时借助第二章中的算子分裂技术求解二维的退化抛物型方程.值得一提的是,耦合高阶紧插值格式和奇-偶阶WENO插值格式的目的是为了避免其奇-偶阶WENO插值格式直接结合混合紧差分产生的损失精度.第四章在第三章的基础上进行扩展,将上述混合高阶无振荡格式应用到一些包含间断解的对流扩散方程中.本部分主要介绍了一阶导数项的离散格式,以确保不影响整体算法的精度.最后数值算例结果表明该方法的高精度,高分辨率,良好的鲁棒性以及可行性.第五章主要是总结论文中的重点工作,创新点以及有待突破的地方,并且指出了本论文可以进一步研究的几点内容,以便后面的继续深入讨论.
詹涌强[2]（2021）在《二维抛物型方程的一族高精度分支稳定显格式》文中研究表明1 引言在渗流、扩散、热传导等领域中经常会遇到求解二维抛物型方程的初边值问题■（1）其中,φ,f1,f2,f3,f4为已知的光滑函数,a>0为热扩散项系数.对问题（1）的求解,有限差分法是解决此类问题的常用方法,常见的差分格式有古典显式格式与Crank-Nicolson格式[1-2],古典显式格式稳定性条件为r≤1/4,局部截断误差为O （Δt+Δx2）,
吴渤[3]（2020）在《高阶发展问题的高效算法研究》文中认为现代科学技术、工程中的许多问题都和时间有关,且它们的数学模型都可用线性或者非线性发展方程（组）的定解问题来描述.这些问题,尤其是和非线性发展方程（组）相关的问题一般都很复杂,很难得到它们的显式解,因此数值求解势在必行.本文的目的就是针对几类重要的高阶发展方程（组）构建高效数值算法并进行系统数值模拟.所以,该研究具有重要的理论意义与应用前景.首先,针对带Dirichlet或周期边界条件的任意阶发展方程提出了统一的快速紧致时间积分方法（FCTI）.具体而言,先对方程在空间方向采用四阶紧致差分格式进行离散并基于谱分解导出常微分方程组形式的半离散化格式.然后通过常数变易公式得到半离散化格式之解的显式时间积分表示式.在此基础上,对积分中的非线性源项采用Lagrange多项式插值逼近并精确计算相应积分,由此获得最终数值方法.两种边界条件下的谱分解分别对应于离散sine变换和离散Fourier变换,因此该方法还可以通过FFT算法来实现快速计算.然后对二阶发展方程进行了线性稳定性分析.数值结果验证了稳定性.进一步,数值实验还表明:FCTI方法经简单的修改后,可以有效地求解一些非标准的高阶半线性发展方程.其次,对非线性源项的近似采用Hermite插值,构造了求解n阶发展方程的新型快速紧致时间积分方法.该方法的思想非常朴素,就是在[tm,tm+1]上使用FCTI方法求解高阶方程（n ≥2）时,通过（3.10）可以获得数值解及其导函数在右端时刻的值,即U（l）（tm+1）,0≤l≤n-1,但在下一个时间步计算时只用到了已知值U（0）（tm+1）.如果能够充分利用已经算到的所有函数值U（l）（tm+1）,0≤l≤n-1来构造插值多项式,就能得到时间方向上更为紧凑的高精度格式.于是只需利用前一时间层的计算信息就可以在时间方向上达到n阶精度.数值模拟的结果验证了该方法的有效性.然后,构造了求解带Neumann边界条件的一阶和二阶发展方程的高效算法.Zhu等在文献[106]中指出直接利用Neumann边界条件,在边界处难以构造可快速计算的高精度离散格式.本文充分利用方程本身和文献[68]中的定理1,构造出了 Neumann边界条件的高精度离散格式,再结合内部格点上的紧致差分格式（2.17）,获得了全局四阶紧致差分格式.并利用文献[54,100]的算法处理技巧实现了高效计算.数值实验结果令人满意.最后,利用本文提供的快速紧致时间积分方法对三类在数学物理学科有重要影响的非线性耦合问题进行了高效算法设计及其数值模拟,得到了令人满意的数值结果.这些问题包括耦合Schrodinger方程组、Klein-Gordon-Schrodinger 方程组、Klein-Gordon-Zakharov 方程组.
谢悦[4]（2020）在《浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用》文中研究说明在处理突发水污染环境事件中,污染物在河流中的分布情况可以用对流扩散方程来描述。同样很多其他环境相关的问题也都可以转化为对流扩散方程的问题进行分析和解决。因此,对流扩散方程在环境监测以及对污染物的预测和处理领域有着十分重要的意义。但是,很多对流扩散方程问题难以找到解析解,需要对其进行数值求解,而对于突发性水污染事件而言,精确的通过数值计算得到污染物精确扩散位置以及浓度的同时,时效性也是不可或缺的。针对浓度对流扩散方程的数值求解问题,本文主要研究内容如下:文章的第一部分首先针对浓度对流扩散方程进行高精度离散,对内点构造两层八点隐格式,进而,构造与内点格式精度相匹配的边界层差分格式,对浓度对流扩散方程的时间和空间项分别进行相应阶数的泰勒展开,使用待定系数法求出差分格式的差分系数,得到浓度对流扩散方程内点以及边界的时间三阶,空间六阶精度隐式差分格式。进而,对一般情况下的一维高精度差分格式进行Von Neumann稳定性分析,随后对相应算例进行数值验证。最终证明了本文构造的所有格式均满足时间三阶,空间六阶的精度要求,且在一定条件下稳定,稳定性范围宽广,同时一定范围内可以高精度计算对流系数较大的对流占优扩散方程问题。文章的第二部分首先基于第一章构造的高精度差分格式对所得到的三对角方程组提出了一种新的并行计算方法。在p个计算机处理核心分组并行处理的基础上可以并行计算,使得整体并行计算的效率更高,数值算例表明:该并行方法简单易行,解决了隐格式的不易并行计算的问题,并且加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,加速比和方程分块数基本满足线性关系,在保持高精度求解的基础上实现了优良的并行效果。值得注意的是在求解过程中,组与组交叉的未知量可以形成块三对角方程,同样可以使用该方法进行并行计算,可以更大程度上的提高并行求解的效率。因此,本文提出的并行方法适用于二维乃至更高维度的对流扩散方程的并行计算,本文以二维对流扩散方程数值求解为例,给出了本方法和串行方法的计算时间对比分析。加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,且能够很好的保持求解过程的精度需求。文章第三部分对并行计算过程中使用的并行语句进行深入分析,揭示了其循环中的系统周转时间、循环控制和计算规模对于计算效果的影响,通过采用内存映射的方法,高效访问磁盘上由于太大而无法保留在内存中或需要花太长时间而无法加载的大数据集,解决了大型矩阵的数据通讯时间影响整提计算速度的问题。利用MEX混合编译和MATLAB的扩展特性,同时结合C语言进行编码,将计算中的大型循环计算使用C/C++和MATLAB混合编译来完成。高效提升求解大型三对角方程时的并行效果。文章第四部分给出了本文所构造的高精度差分格式在实际环境问题中的应用。分别以上游围油栏作为第一类固定边界,下游收油装置作为第一类移动边界,模拟对河道溢油事故的处理过程。通过采用本文构建的一维浓度对流扩散方程高精度差分格式,数值模拟了溢油发生时,围油栏和收油装置作处理装置时溢油浓度的变化。
唐琳婧[5]（2020）在《基于双向抛物方程的复杂海洋环境电波传播研究》文中研究指明随着无线电技术的发展与电磁学研究的深入,无线通信系统被广泛应用于人类生活的各个领域,如卫星通信、GPS定位、雷达预警、遥感遥测系统等,研究各类复杂环境下的电波传播并对其作出预测为我们的生产生活提供了便利。海洋面积辽阔,资源丰富,研究海洋环境的电波传播对沿海经济发展和国家海洋战略部署都有着重大的意义。抛物方程（Parabolic equation,简称PE）法是一种预测对流层电波传播的电磁场数值计算方法,它能同时处理不规则的边界条件和大气波导环境,且计算方法相对简单,在各类环境的电波预测中都得到了非常广泛的应用。传统的抛物方程法主要研究了电波的前向传播过程,是一种二维环境的单向算法,忽略了电波遇到障碍物后的反向传播。传播域范围内存在障碍物的情况下,仅使用传统的抛物方程法预测电波传播特性会和真实值产生较大的误差。因此,本文提出应用双向抛物方程求解复杂海洋环境的电波传播特性。用有限差分法求解双向抛物方程（Two-way parabolic equation,2WPE）,将改进分形模型应用于模拟粗糙海面,分析风力作用下粗糙海面对电波传播产生的影响。最后研究了双向三维抛物方程及其交替方向隐式（Alternate Direction Implicit,ADI）求解。文章首先从麦克斯韦方程组及波动方程出发,引入前向、后向简化函数并对发出做出适当的近似,得到前向、后向抛物方程。采用有限差分法求解前向、后向抛物方程中都,得到了双向抛物方程的有限差分解,给出了前向、后向抛物方程运算过程中对不规则地形及阻抗边界条件的处理方法。其次,引用一种新的改进分形模型模拟不同风速条件下的粗糙海面,计算了电波在此模型中的传播情况,在电波的前、后向传播过程中均使用改进分形模型模拟粗糙海面轮廓,分析了不同风速条件下电波在此模型中的传播特性。在相同条件下,将运用改进分形模型模拟海面时的电波双向传播因子与经典的Miller-Brown模型模拟海面时的电波双向传播因子进行对比,验证了改进分形模型在电波双向传播中的有效性。最后将此模型与海面上空常见的大气波导类型结合,计算了大气波导环境下双向电波在改进分形模型中的传播因子,分析了粗糙起伏海面对大气波导陷获能力的影响。最后,研究了电波在三维环境中的前向、后向传播。推到了三维抛物方程的有限差分求解方法,在此基础上首次提出运用ADI方法对三维双向抛物方程进行求解,详细推导了三维前向、后向抛物方程ADI求解法的求解公式,最后通过算例求解三维环境电波双向传播特性。
侯波[6]（2020）在《求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现》文中进行了进一步梳理对流方程是一类重要的偏微分方程.因此,数值求解该类方程具有非常重要的理论价值和实际意义.本文建立了数值求解对流方程的高阶紧致差分格式.首先,针对一维对流方程,假设方程在（xi,tn+1/2）点成立,将方程在时间方向和空间方向上均采用泰勒级数展开及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散,得到求解该方程的一种两层高精度紧致全隐格式HOC1.该格式在时间和空间上均具有四阶精度.再将方程在（xi,tn）处展开,得到一种三层高精度紧致差分格式HOC2.采用von Neumann方法分析了两种格式的稳定性.然后通过几个具有精确解的数值算例进行数值实验,验证了两种格式的稳定性和精确性.其次,针对二维和三维对流方程,利用局部一维化（LOD）方法分裂为几个一维问题进行求解.并将分裂后的一维对流方程在时间和空间上均采用泰勒级数展开及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散,得到二维和三维对流方程的高精度紧致LOD格式,运用von Neumann方法分析了该格式的稳定性,然后通过数值算例验证了格式的精确性和可靠性.最后,将本文所推导的格式接入到“PHOEBESolver”[1]求解软件,使得偏微分方程数值解的相关学者更加方便地使用本文格式.
徐保邹[7]（2020）在《几类偏微分方程数值解的基于POD方法的降维高阶紧差分算法研究》文中认为本文主要研究了抛物型方程和Fisher-Kolmogorov方程的几种高阶紧差分算法。在大型工程问题计算中,高阶紧差分方法会产生数以千万的未知量,从而占用大量的计算时间。为了克服这一不足,本文采用Proper Orthogonal Decomposition（简记为POD）来对高阶紧差分格式进行降维优化和改进。这种基于POD方法的降维高阶紧差分方法不仅具有计算所需节点少、与谱方法相近的高分辨率和边界易处理等等一系列优点,而且还能极大的缩短计算时间,降低计算内存要求、减少CPU运行负担。数值算例说明数值计算结果与理论结果是吻合的,并且降维方法在保证精度的同时极大地节省了计算时间。这说明这种降维方法是有效的和可行的。全文分为五章,主要的内容如下:第一章,我们首先对偏微分方程作了简单的概述,并且简单的介绍了有限差分法的几种形式以及POD方法的背景知识和应用。第二章主要研究了抛物型方程的降维四阶紧差分格式。首先基于泰勒公式,我们给出了一维和二维抛物型方程的四阶紧差分格式详细推导步骤。然后,通过引入POD方法,我们得到了降维的紧差分格式和两种格式之间误差的估计公式,最后通过几组数值算例说明我们方法求解抛物型方程解的有效性。第三章,我们首先对抛物型方程的六阶紧差分格式作了详细的介绍。然后,我们将POD方法应用到抛物型方程的求解中去,建立了既能保证精度又能节省大量计算时间的降维六阶紧差分格式。随后借助分裂方法,该方法被成功推广到多维抛物型方程。第四章在第三章的基础上对其进行扩展、改进。将上述方法应用到扩展的Fisher-Kolmogorov方程上,Fisher-Kolmogorov方程形式比抛物型方程更为复杂,而且还具有混合导数,求解起来更具有难度。本章中给出了算法的详细步骤,最后用数值算例说明了该方法的高精度、高效率以及可行性。第五章主要是系统总结了整篇文章的主要工作和创新之处,并且给出了需要深入研究的内容,留待以后继续探讨。
韩俊茹[8]（2019）在《线性双曲型方程的高精度紧致差分格式》文中进行了进一步梳理双曲型方程是一类重要的偏微分方程,由于寻求问题本身的精确解比较困难,因此采用数值方法来求解此类方程有极具深远的意义和实际应用价值.本文建立了求解线性双曲型方程的高阶紧致差分格式.首先,在空间上采用Kreiss提出的四阶紧致差分公式进行逼近,时间上采用Taylor级数展开及截断误差修正的方法,提出了一种求解一维线性双曲型方程的高精度紧致全隐格式.该格式在时间和空间上均具有四阶精度.采用Fourier方法分析了该格式的稳定性.然后通过几个具有精确解的数值算例进行数值验证,数值实验证明本文所提格式与文献中已有的数值方法的计算结果相比较,具有较好的稳定性和精确性.接下来,将一维线性双曲型方程的高精度紧致差分方法直接推广到二维问题,建立了时间和空间均具有四阶精度的紧致差分格式.此时需要迭代计算,采用修正的多重网格全近似格式,从而加快了迭代收敛速度,减少了迭代次数,节省了计算时间,提高了计算效率.通过一些具有精确解的算例进行数值验证.数值结果表明,本文方法在时间与空间上都能达到四阶精度,这与本文的理论分析相吻合,而且计算误差明显要比文献中的计算误差更小,计算精度高.最后,将本文所推导的格式接入到偏微分方程有限差分法求解软件,使得偏微分方程数值解研究人员更加方便地对本文格式进行使用计算和对比研究.
黄文姣[9]（2019）在《求解扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法》文中指出非线性扩散反应爆破问题在化学、生物、物理和工程领域都有极其重要的应用.近年来,非线性方程解的爆破现象除了引起许多偏微分方程工作者的兴趣外,还引起了量子力学、流体力学、非线性光学等领域的工作者广泛关注.本文主要针对非线性扩散反应方程的爆破问题的有限差分方法及网格自适应算法进行研究,首先时间方向采用Crank-Nicolson格式,空间方向采用截断误差余项修正法在非均匀网格上建立了一维非线性扩散反应方程的高精度紧致差分格式.推导出了空间具有四阶精度,时间具有二阶精度的高精度格式.并采用Fourier法分析了该格式的稳定性.在求解爆破问题过程中,由于爆破解在有限时间内会突然变得无界,所以我们分别建立了时间和空间网格自适应算法,可以在空间爆破点附近对网格进行加密,而在时间爆破点附近采用小的时间步长.然后将此方法推广到二维问题中,建立了二维非线性扩散反应方程的高精度紧致ADI差分格式及网格自适应算法.最后通过具有精确解的问题,对本文格式进行了验证,在此基础上对一些没有精确解的爆破问题进行直接数值模拟,揭示数值解的渐近行为和解的爆破现象,得到爆破现象发生的初始条件、临界尺寸、临界时间、爆破发生的空间位置等.可以得出本文计算结果与文献结果相吻合,进而说明我们的数值模拟结果是精确有效的.本文所有格式及算例均可在偏微分方程数值求解软件上实现.
马天龙[10]（2018）在《偏微分方程有限差分法求解软件研发》文中进行了进一步梳理本文主要研发一款基于互联网的偏微分方程有限差分方法求解软件。其主要功能是实现抛物型、双曲型、椭圆型三类典型偏微分方程的多种数值方法求解,减少研究者在进行数值对比实验或者深入了解算法过程中的重复编程的时间和精力投入,提高科学研究的效率,从而为偏微分方程数值解研究领域的学习者和科研工作者提供一个方便快捷的计算平台和学习平台。软件集成了 41个偏微分方程的240个有限差分格式,包括少数经典的低精度格式,以及近三十年新发展起来的高精度紧致格式（具有四阶及四阶以上精度）。软件包括提供均匀和非均匀两种网格计算模式,对迭代算法提供单层网格和多重网格两种计算模式。软件提供数值解、精确解,及无穷范数误差、L2范数误差、均方根误差和平均误差四种误差结果。软件主要特点如下:1.基于独立差分算法的软件集成模式,即每个差分算法的源代码和接入口都是独立的,方便用户准确定位算法和使用。并且具有良好的扩展性和兼容性,在不改变软件原有框架的基础上,可轻松加入新型格式:2.软件以云平台为基础,突破了传统的数学计算软件都需要在本地进行安装的单机版或C/S架构,引入J2EE技术,采用当前主流的B/S架构,用户只需在客户端做简单的配置,操作都是通过客户端向服务器发请求来实现。3.软件科学合理地集成了云平台、J2EE框架、MySQL数值计算语言（如Fortran）、数学公式语法语义分析等产品和技术,充分发挥了各项技术的优势,并使其统一为整个计算平台服务。4.系统实现了客户端通过http请求调用云平台上的中间件,从而极大地增强了系统的计算功能。5.系统提供多种计算结果输出的接口,各类常用绘图软件可直接或间接地读入计算结果进行绘图。另外,系统利用自身的绘图插件也可直接绘制结果图形。6.结合HTML5、MathJax、LaTex技术,实现数学方程、公式在WEB页面上的响应布局、合理渲染、美观显示也是系统的一个亮点。该软件实现了三类典型偏微分方程的多种格式的数值求解,操作简便,高效快捷。随着新格式的不断接入,该软件最终将发展为一套偏微分方程数值解的开放式平台,供全球范围内从事偏微分方程数值解的科研人员所享有和使用。
二、三维抛物型方程两层显式差分格式的研究（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、三维抛物型方程两层显式差分格式的研究（论文提纲范文）
（1）一种求解含间断解的典型偏微分方程混合高阶无振荡紧差分算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题意义及国内外研究现状 |
| 1.1.1 选题意义 |
| 1.1.2 国内外研究现状 |
| 1.2 紧差分方法介绍 |
| 1.3 ENO和 WENO格式 |
| 1.4 算子分裂方法的基本知识 |
| 第2章 多维Burgers方程的分裂-紧差分组合格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一维的Burgers方程的数值算法 |
| 2.2.1 Burgers方程 |
| 2.2.2 紧差分格式 |
| 2.2.3 时间上的离散 |
| 2.2.4 Burgers方程线性化 |
| 2.3 大时间步长的选择 |
| 2.4 算子分裂法 |
| 2.4.1 二维、三维Burgers方程的算子分裂过程 |
| 2.4.2 算子分裂法的精度及稳定性分析 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 本章小节 |
| 第3章 退化抛物型方程的混合高阶无振荡紧差分算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 退化抛物型方程以及混合紧差分算法 |
| 3.2.1 退化抛物型方程 |
| 3.2.2 混合紧差分算法 |
| 3.3 混合高阶无振荡紧差分格式 |
| 3.3.1 奇-偶阶WENO插值格式 |
| 3.3.2 混合高阶无振荡紧差分格式 |
| 3.3.3 时间离散 |
| 3.3.4 保正限制器 |
| 3.4 退化抛物型方程数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 HWCDs算法在对流扩散方程中应用 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 对流项的数值离散格式 |
| 4.2.1 对流扩散方程 |
| 4.2.2 有限差分奇-偶阶WENO算法 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（3）高阶发展问题的高效算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT(英文摘要) |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与研究现状 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作和创新点 |
| 1.4 符号说明 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 几个典型的发展方程 |
| 2.1.1 Allen-Cahn方程 |
| 2.1.2 广义Klein-Gordon方程 |
| 2.1.3 在松弛介质中传播的三阶波动方程 |
| 2.1.4 耦合问题 |
| 2.2 常微分方程初值问题的求解 |
| 2.3 三个特殊矩阵的谱分解及其快速计算 |
| 2.4 空间离散方法 |
| 2.4.1 二阶中心差分格式 |
| 2.4.2 紧致差分格式 |
| 2.5 指数时间差分方法 |
| 第三章 求解一类任意阶发展方程的快速紧致时间积分方法 |
| 3.1 二维空间上的紧致时间积分方法及其快速实现 |
| 3.1.1 空间离散:四阶紧致差分及其离散sine变换(DST) |
| 3.1.2 时间方向离散:时间积分多步法逼近 |
| 3.1.3 周期边界问题 |
| 3.2 三维情形的推广 |
| 3.3 线性稳定性分析 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 稳定性测试 |
| 3.4.2 收敛性和高效性测试 |
| 3.4.3 与傅立叶谱IFRK方法的比较 |
| 3.4.4 一些应用问题 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 求解任意阶发展方程的新型快速紧致时间积分方法 |
| 4.1 Dirichlet边界问题 |
| 4.2 基于Hermite插值近似的时间积分方法 |
| 4.3 周期边界问题 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 求解带Neumann边界条件的一阶发展方程的快速紧致指数时间差分方法 |
| 5.1 快速紧致指数时间差分法 |
| 5.1.1 空间离散化:四阶紧致差分格式 |
| 5.1.2 指数时间积分与快速计算 |
| 5.2 三维情形的推广 |
| 5.3 数值实验 |
| 5.3.1 收敛性和高效性测试 |
| 5.3.2 Allen-Cahn方程 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 求解带Neumann边界条件的二阶发展方程的高效算法 |
| 6.1 空间半离散 |
| 6.2 时间离散 |
| 6.3 数值实验 |
| 6.3.1 收敛性和效率测试 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 求解耦合发展方程组的高效算法 |
| 7.1 空间方向离散 |
| 7.2 时间方向离散 |
| 7.3 数值实验 |
| 7.3.1 有效性和高效性测试 |
| 7.3.2 三类非线性耦合问题 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的研究成果及发表的论文 |
（4）浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1. 绪论 |
| 1.1 背景研究 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 数值计算精度的研究进展 |
| 1.2.2 数值算法并行化的研究进展 |
| 1.2.3 三对角矩阵并行化的研究进展 |
| 1.2.4 MATLAB并行求解应用研究进展 |
| 1.3 发展趋势 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 2. 一维Dirchlet边界条件下浓度对流扩散方程高精度格式构造 |
| 2.1 一般内点差分格式 |
| 2.1.1 内点格式构造 |
| 2.1.2 内点格式稳定性分析 |
| 2.2 边界差分格式 |
| 2.2.1 始边界格式构造 |
| 2.2.2 始边界格式稳定性分析 |
| 2.2.3 末边界格式构造 |
| 2.2.4 末边界格式稳定性分析 |
| 2.3 数值算例 |
| 2.4 本章小结 |
| 3. 浓度对流扩散方程高精度格式并行计算方法 |
| 3.1 并行计算方法推导 |
| 3.2 数值算例及并行效率分析 |
| 3.2.1 一维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.2.2 二维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.3 本章小结 |
| 4. 基于对流扩散方程并行计算中的MATLAB高效实现方法 |
| 4.1 影响并行计算效率的因素 |
| 4.2 提高并行计算效率的方法 |
| 4.2.1 减少数据通讯时间 |
| 4.2.2 混合编译优化 |
| 4.3 本章小结 |
| 5. 环境中的应用 |
| 5.1 问题描述 |
| 5.2 数值模拟 |
| 6. 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 一维浓度对流扩散方程高精度格式的内点差分系数 |
| 附录B 一维浓度对流扩散方程高精度格式的始边界差分系数 |
| 附录C 一维浓度对流扩散方程高精度格式的末边界差分系数 |
| 附录D 二维浓度对流扩散方程高精度格式的解 |
| 致谢 |
| 作者简历及攻读硕士学位期间的科研成果 |
（5）基于双向抛物方程的复杂海洋环境电波传播研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文的主要研究内容和章节安排 |
| 1.3.1 主要研究内容 |
| 1.3.2 章节安排 |
| 第二章 双向抛物方程法理论研究 |
| 2.1 双向抛物方程推导过程 |
| 2.2 初始场的设置 |
| 2.3 边界条件 |
| 2.3.1 上边界吸收层 |
| 2.3.2 阻抗边界条件 |
| 2.4 修正大气折射率 |
| 2.5 传播因子与传播损耗 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 双向抛物方程的有限差分数值解法 |
| 3.1 抛物方程近似 |
| 3.2 有限差分法求解双向抛物方程 |
| 3.2.1 介质的中间传播域 |
| 3.2.2 介质的下边界 |
| 3.2.3 有限差分矩阵 |
| 3.3 追赶法 |
| 3.4 算例分析 |
| 3.4.1 频率不同时电波双向传播分析 |
| 3.4.2 波束宽度不同时电波双向传播分析 |
| 3.4.3 发射源高度不同时电波双向传播分析 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 复杂海洋环境电波双向传播研究 |
| 4.1 Miller-Brown模型 |
| 4.2 改进分形模型 |
| 4.3 不规则地形边界处理 |
| 4.4 大气波导模型 |
| 4.5 算例分析 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 三维环境电波双向传播研究 |
| 5.1 三维标准抛物方程模型 |
| 5.2 初始场的设置 |
| 5.3 三维双向抛物方程模型有限差分解法 |
| 5.4 三维双向抛物方程模型ADI解法 |
| 5.5 算例分析 |
| 5.6 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的学术成果 |
| 致谢 |
（6）求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 一维对流方程的高精度紧致差分格式 |
| 2.1 高精度紧致差分格式 |
| 2.1.1 高精度紧致差分格式(HOC1) |
| 2.1.2 高精度紧致差分格式(HOC2) |
| 2.2 稳定性分析 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 二维对流方程的高精度紧致LOD格式 |
| 3.1 高精度紧致LOD格式 |
| 3.2 稳定性分析 |
| 3.3 数值实验 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 三维对流方程的高精度紧致LOD格式 |
| 4.1 高精度紧致LOD格式 |
| 4.2 稳定性分析 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 格式在“PHOEBESolver”软件上实现 |
| 5.1 软件介绍 |
| 5.2 格式在软件上的使用 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历及论文发表情况 |
（7）几类偏微分方程数值解的基于POD方法的降维高阶紧差分算法研究（论文提纲范文）
| 内容摘要 |
| abstract |
| 引言 |
| 1 绪论 |
| 1.1 选题背景及研究目的和意义 |
| 1.2 有限差分方法 |
| 1.3 基于POD方法的降维模型的发展概况 |
| 1.4 算子分裂法的研究进展 |
| 2 抛物型方程的降维四阶紧差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 抛物型方程四阶紧差分格式以及快照的生成 |
| 2.3 抛物型方程降维四阶紧差分格式 |
| 2.4 抛物型方程降维四阶紧差分格式的误差估计 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 抛物型方程的降维六阶紧差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 抛物型方程六阶紧差分格式 |
| 3.3 抛物型方程降维六阶紧差分格式 |
| 3.4 多维抛物型方程 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 Fisher-Kolmogorov方程的降维六阶紧差分格式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Fisher-Kolmogorov方程的一维六阶紧差分格式 |
| 4.3 Fisher-Kolmogorov方程的二维六阶紧差分格式 |
| 4.4 二维Fisher-Kolmogorov方程的降维六阶紧差分格式 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 后记 |
| 附录：攻读硕士学位期间发表的部分学术论着 |
（8）线性双曲型方程的高精度紧致差分格式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 多重网格方法概述 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 一维线性双曲型方程的高精度紧致差分格式 |
| 2.1 高精度紧致差分格式 |
| 2.2 稳定性分析 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.4 结论 |
| 第三章 二维线性双曲型方程的差分格式及多重网格算法 |
| 3.1 高精度紧致差分格式 |
| 3.2 稳定性分析 |
| 3.3 多重网格方法 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 结论 |
| 第四章 格式在偏微分方程有限差分法求解软件上实现 |
| 4.1 软件介绍 |
| 4.2 格式的接入过程 |
| 4.3 格式在软件上的使用 |
| 4.4 结论 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历及论文发表情况 |
（9）求解扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 爆破问题研究现状 |
| 1.3 高精度紧致格式研究现状 |
| 1.4 偏微分方程数值求解软件概述 |
| 1.5 本文主要工作 |
| 第二章 一维扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法 |
| 2.1 高精度紧致格式 |
| 2.2 稳定性分析 |
| 2.3 网格自适应方法 |
| 2.4 数值算例 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 二维扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法 |
| 3.1 高精度紧致ADI格式 |
| 3.2 稳定性分析 |
| 3.3 网格自适应算法 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 偏微分方程数值求解软件接入与实现 |
| 4.1 偏微分方程数值求解软件接入 |
| 4.2 PHOEBE Solver软件实现 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简介 |
（10）偏微分方程有限差分法求解软件研发（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景与意义 |
| 1.2 课题研究现状 |
| 1.3 本文研究内容 |
| 第二章 偏微分方程有限差分法求解软件需求分析 |
| 2.1 系统总体概述 |
| 2.2 系统功能 |
| 2.2.1 软件对三类典型偏微分方程模型的数值算法求解 |
| 2.2.2 软件集成多种数值计算格式 |
| 2.2.3 可适用于稳态和非稳态两种定解问题的求解 |
| 2.2.4 提供均匀和非均匀两种网格计算模式 |
| 2.2.5 提供四种误差结果 |
| 2.2.6 软件可视化功能 |
| 2.2.7 数值验证功能 |
| 2.2.8 查看格式和算例说明 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 偏微分方程有限差分法求解软件系统设计 |
| 3.1 系统总体架构设计 |
| 3.1.1 设计原则 |
| 3.1.2 系统模块划分 |
| 3.2 系统功能模块设计 |
| 3.2.1 方程分类管理模块 |
| 3.2.2 各阶各类方程显示模块 |
| 3.2.3 方程计算交互界面 |
| 3.2.4 固定算例计算模块 |
| 3.2.5 自定义算例计算模块 |
| 3.2.6 查看数值解模块 |
| 3.2.7 绘图模块 |
| 3.2.8 查看格式和算例说明 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 偏微分方程有限差分法求解软件数据库设计 |
| 4.1 系统数据库设计 |
| 4.1.1 数据库逻辑设计 |
| 4.1.2 数据库表设计 |
| 4.2 本章小结 |
| 第五章 偏微分方程有限差分法求解软件主要功能实现 |
| 5.1 系统开发环境和工具简介 |
| 5.2 系统关键技术分析 |
| 5.2.1 系统框架调用结构 |
| 5.2.2 在WEB页面上显示和渲染数学表达式 |
| 5.2.3 实现客户端与服务器端交互计算 |
| 5.2.4 应用动态编译技术实现自定义算例的计算 |
| 5.2.5 调用Matlab绘图接口绘制图形 |
| 5.3 系统功能模块的实现 |
| 5.3.1 系统登录及主界面模块 |
| 5.3.2 方程分类管理模块 |
| 5.3.3 各阶各类方程显示模块 |
| 5.3.4 方程计算交互界面 |
| 5.3.5 固定算例计算模块 |
| 5.3.6 查看计算结果模块 |
| 5.3.7 图形绘制模块 |
| 5.3.8 自定义算例计算模块 |
| 5.3.9 系统组织角色管理模块 |
| 5.3.10 系统用户管理模块 |
| 5.3.11 系统日志管理模块 |
| 5.3.12 系统聊天室模块 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 系统应用举例 |
| 6.1 RHOC ADI格式简述 |
| 6.2 应用偏微分方程有限差分法求解软件计算 |
| 6.3 计算结果说明 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
四、三维抛物型方程两层显式差分格式的研究（论文参考文献）
- [1]一种求解含间断解的典型偏微分方程混合高阶无振荡紧差分算法研究[D]. 王圣锋. 三峡大学, 2021
- [2]二维抛物型方程的一族高精度分支稳定显格式[J]. 詹涌强. 高等学校计算数学学报, 2021(01)
- [3]高阶发展问题的高效算法研究[D]. 吴渤. 上海交通大学, 2020(01)
- [4]浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用[D]. 谢悦. 大连海事大学, 2020(01)
- [5]基于双向抛物方程的复杂海洋环境电波传播研究[D]. 唐琳婧. 广东工业大学, 2020(07)
- [6]求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现[D]. 侯波. 宁夏大学, 2020(03)
- [7]几类偏微分方程数值解的基于POD方法的降维高阶紧差分算法研究[D]. 徐保邹. 三峡大学, 2020(02)
- [8]线性双曲型方程的高精度紧致差分格式[D]. 韩俊茹. 宁夏大学, 2019(02)
- [9]求解扩散反应爆破问题的高阶紧致差分格式及网格自适应算法[D]. 黄文姣. 宁夏大学, 2019(02)
- [10]偏微分方程有限差分法求解软件研发[D]. 马天龙. 宁夏大学, 2018(01)